设函数f(x)=ax^2-2x+3,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围

你确定你没写错

当a>0的时，
f(x)=a(x-1/a)^2+2-1/a
所以
1/a<0

既然a>0了
怎么还会有1/a<0 ？

f(x)=ax^2-2x+3=a（x^2-2x/a+1/a^2)+3-a*1/a^2=a(x-1/a)^2+3-1/a (这一步你写错了)

a>0说明抛物线开口向上，并且(3-1/a)为抛物线最低点

分三种情况讨论
（1）a>0,且3-1/a>0。此时整个抛物线都在横轴上方满足所有x都有f(x)>0
得到a>1/3
(2)a>0,且3-1/a<0即0<a<1/3.此时只要满足f（1）>0就可以了。
f（1）=a+1>0,即a>-1
得到0<a<1/3
（3）a=1/3,此时f（3）=0，不满足题意

综上，a>0的前提下，要满足a不等于1/3

抛物线y=ax^2-2x+3 的对称轴是x=1/a,当a>0时,抛物线的开口向上,当a<0时,抛物线的开口向下,对称轴还是1/a.

把ax^2-2x+3配方
ax^2-2x+3=a（x^2-2x/a+1/a^2)+3-a*1/a^2=a(x-1/a)^2+3-1/a

为什么写成这样还需画个图领悟一下。我只能凭空讲了。
首先讨论a>0：当1<1/a<4，f(1/a)=3-1/a>0时，图像都在x轴上方，可行。
当1/a≥4，f(1/a)=3-1/a>0时，图像都在x轴上方，但a无解。
当1/a≤1，f（1/a)=3-1/a>0时,a有解。（此时f（1）当然大于零)
当1/a≤1，f（1/a）=3-1/a≤0时，表明函数与x轴相切或相交，因为函数在对称轴右边递增，所以只需令f（1）＞0，那么f（x）在（1，4）都大于零。
将两者合并起来，即当1/a≤1，f（1）＞0